Створення і опрацювання моделей на прикладах задач з різних предметних галузей


Як ми вже дізналися, побудова будь-якої моделі — це достатньо складне завдання. Хоча вміння правильно моделювати задачу корисне не лише під час вивчення інформатики, але й у повсякденному житті. Протягом уроку ми розглянемо приклади побудови і опрацювання моделей для конкретних математичних задач, з якими ви вже зустрічались. Таким чином, ми зможемо як фахівці оцінити доцільність використання моделювання для вирішення завдань іншого предмету.

При розв'язуванні задач будемо діяти за таким планом (можливо, лише проговорюючи усно деякі моменти, про які часто навіть не задумуються):
  1. Ознайомитися з умовою задачі або чітко сформулювати її.
  2. Проаналізувати умову задачі, тобто знайти відповіді на такі питання:
    • Що дано?
    • Що потрібно визначити?
    • При яких припущеннях?
    • У якому вигляді потрібно (доречно, найкраще) подати результати?
    • За яких умов можна отримати результати?
    • Які результати вважати правильними?
  3. Передбачити розв'язання задачі з допомогою комп'ютера. Розв'язання задачу необхідно підготувати до втілення його програмою: підібрати формули, встановити порядок виконання дій тощо. Для алгоритмічно складних задач потрібно сформулювати розв'язання у вигляді, зручному для перекладу алгоритмічною мовою.
  4. Визначити метод розв'язання задачі, від чого залежить, яку програму доцільно буде використати.
  5. Розробити алгоритм на основі обраного методу
  6. Втілити алгоритм за допомогою програмного забезпечення.
  7. Протестувати й налагодити програму (електронний документ).
  8. Провести остаточні розрахунки, проаналізувати отримані результати.
Задача 1. Дано три числа. Перевірити, чи існує трикутник, довжини сторін якого збігаються з цими числами. У разі позитивної відповіді, обчислити площу трикутника.
  1. Умова задачі не вимагає уточнення.
  2. З умови задачі маємо:
    • дано: a, b, c — дійсні додатні числа;
    • потрібно знайти відповідь на запитання: «Чи існує трикутник, довжини сторін якого дорівнюють a, b, c?». У випадку, якщо такий трикутник існує, обчислити його площу S.
  3. Сценарій розв'язання задачі: з курсу геометрії виділити умову існування трикутника з даними довжинами сторін a, b, cодночасне справдження таких трьох нерівностей:
a < b + c,
b < c + a,
c < a + b.
Далі потрібно вибрати формулу для обчислення S — площі трикутника — за відомими його сторонами a, b, c — формулу Герона:

__________________




S = √
 p (pa) (pb) (pc)
,
де p =(a + b + c)/2.
  1. Більшість задач з математики можна розв'язати за допомогою перетворень і (або навіть лише) з використанням алгебричних формул. У таких випадках доцільно використовувати:
    • табличні процесори LibreOfficeCalc чи MS Office Exel (для ОС Windows);
    • середовища прогамування FreePascal чи СodeBlocks з С++;
— програми, що «вміють лише рахувати», або ті, що «вміють робити аналітичні перетворення» (наприклад, Reduce). Деякі задачі,доцільно розв'язувати із застосуванням рисунку. В такому випадку стане у нагоді графічний спосіб вирішення задачі з відповідним програмним забезпеченням. Скористаємося алгебричним способом розв'язання для цієї задачі як найзручнішим.
  1. – 6. На чистому аркуші електронної таблиці введемо:
    • у клітини A1:A3 — позначення вхідних даних;
    • у клітини A4 й А6 — позначення вихідних даних;
    • у клітину A5 — позначення для допоміжної змінної p;
    • у клітини B1:B3 — значення вхідних даних;
    • у клітину B4 — формулу для визначення умови існування трикутника:
      =IF(AND(B1<B2+B3;B2<B3+B1;B3<B1+B2);"існує";"не існує"))
    • у клітину B5 — формулу для обчислення півсуми p: = SUM(B1:B3)/2
    • у клітину B6 — формулу для обчислення площі S:
      =IF(AND(B1<B2+B3;B2<B3+B1;B3<B1+B2);SQRT(B5*(B5-B1)*(B5-B2)*(B5-B3));"")
Велика перевага розв'язання за допомогою електронних таблиць — можливість копіювати написану формулу й аналізувати розв'язки для різних вхідних даних, подані на одному аркуші.
  1. Тестуємо програму для таких вхідних значень (у перших двох випадках трикутник існує, в інших – ні).
a
13
3
10
3
3
b
14
4
4
9
4
c
15
5
5
5
8
S
84
6



  1. Аналізуємо отримані результати. У разі потреби редагуємо формули.
Задача 2. У дядька Василя є басейн у дворі. Іноді Василь їздить до річки та привозить воду до басейну в цистерні. Відомі розміри басейну: ширина — 4,3 м, висота — 2 м, довжина — 5,8 м, і об’єм цистерни 4,5 м3. Скільки разів необхідно Василю з'їздити до річки за водою, щоб наповнити басейн наполовину?
  1. Умову задачі чітко сформульовано, вона не вимагає переформулювання.
  2. В умові дано a, b, c — габарити басейну; V — об’єм цистерни. Потрібно визначити n — кількість поїздок Василя за водою до річки, щоб наповнити басейн наполовину.
  3. Сценарій розв'язання задачі: знайти об'єм басейну Vб, а потім n — шукану кількість поїздок за водою.
  4. Скористаємося алгебричним способом розв'язання.
  5. Обчислимо:
    Vб = abc — об’єм басейна;
    n = Vб : (V : 2) = 2Vб : V — шукану кількість поїздок за водою.
  6. На чистому аркуші електронної таблиці введемо:
    • у клітини A1:G1 — позначення параметрів моделі;
    • у клітини А2:D2 — значення вхідних даних;
    • у клітину E2 — формулу для обчислення об'єму басейну Vб:   =B2*C2*D2
    • у клітину F2 — формулу для n:   =CEILING(2*F2/E2;1)
  1. Тестуємо програму для довільних додатних вхідних значень.
  2. Аналізуємо отримані результати. У разі потреби редагуємо формули.
Задача 3. Вписати коло в заданий трикутник.
  1. Умова задачі не вимагає уточнення.
  2. В умові дано трикутник, а потрібно побудувати вписане у нього коло, тобто вказати його центр і радіус.
  3. Сценарій розв'язання задачі: знайти центр, а потім — радіус вписаного кола.
  4. Метод розв'язання — графічний.
  5. Алгоритм розв'язання має такий вигляд: знайти центр вписаного кола як точку перетину бісектрис внутрішніх кутів трикутника, а потім — радіус вписаного кола як відстань від знайденого центра кола до його сторін даного трикутника. У середовищі Geogebra усі кроки можна здійснити, виконавши такі вказівки:
  1. Панель об'єктів і Полотно (викликати вказівкою меню Вид / …) матимуть такий вигляд.
  1. Тестуємо програму, перетягуючи вершини трикутника A, B, C і оновлюючи натисканням клавіш Ctrl + F або вказівкою меню Вид / Оновити.
Аналізуємо отримані результати. У разі потреби редагуємо означення об'єктів.

Комментариев нет:

Отправить комментарий