Моделювання як метод дослідження об'єктів

Основні етапи комп’ютерного моделювання

1. Постановка задачі та її аналіз.
2. Побудова інформаційної моделі.
3. Розробка методу й алгоритму дослідження моделі.
4. Розробка комп’ютерної моделі.
5. Проведення комп’ютерного експерименту.

Розглянемо сутність цих етапів на прикладі такої задачі.

Задача (про Робіна Гуда). Робіну Гуду потрібно передати записку товаришу, якого заточили у в’язницю замку Ноттінгем. Замок оточено високою стіною. Записку можна закинути разом із каменем у вікно в’язниці, але кидати камінь потрібно так, щоб він пролетів крізь бійницю у стіні.

1. Постановка задачі та її аналіз — конкретизація й уточнення задачі моделювання:

• з’ясовування, з якою метою створюють модель;
• уточнення, які саме результати і в якому вигляді потрібно одержати;
• визначення, які дані потрібні для створення моделі, і що власне моделюють;
• встановлення, чи є обмеження на вхідні дані, тобто за яких умов можна одержати потрібні результати, а за яких — ні.

Для розглядуваної задачі метою складання моделі є визначення, чи можна закинути камінь до в’язниці, а якщо це можливо, то як має діяти Робін Гуд для досягнення цього результату. Результатом моделювання повинна бути відповідь на (перше) поставлене запитання і, якщо вона позитивна, — рекомендації для Робіна Гуда щодо величини й напряму швидкості каменя із запискою у момент кидання. Для побудови моделі потрібні дані про геометрію споруд (відстань стіни від замку, товщина стіни, висота й розміри бійниці, висота й розміри вікна в’язниці), тобто значення величин, які на рисунку нижче позначено через a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, h₁, h₂.

Також потрібно знати дещо і про Робіна Гуда — на якій висоті r він відпускає камінь при киданні та з якою найбільшою швидкістю v_max він може жбурнути камінь. Припустивши адекватність класичної механіки Ньютона для даного випадку, завжди можна отримати відповідь на поставлене питання.

2. Побудова інформаційної моделі — встановлення й опис взаємозалежностей між параметрами моделі:

• визначення всіх параметрів моделі й виявлення всіх взаємозв’язків між ними;
• оцінювання того, які з параметрів є істотними при побудові моделі, а якими можна нехтувати. Такий аналіз здійснюють з огляду на поставлену задачу з метою максимального спрощення моделі. Але спрощення не може бути надмірним, щоб модель не втратила адекватності;
• запровадження (при потребі) й використання системи умовних позначень, у яких здійснюють опис залежностей між параметрами моделі. У результаті отримують знакову інформаційну модель.

Побудуємо інформаційну модель для нашої задачі. Геометричні параметри споруд позначимо, як показано на рисунку вище. Вважатимемо, що рух каменя відбувається в одній площині, перпендикулярній до земної поверхні. Запровадимо у цій площині прямокутну систему координат:

• з початком координат у місці розташування стоп Робіна Гуда;
• з горизонтальною віссю абсцис Ox, спрямованою у напрямку кидання;
• з вертикальною віссю Oy, спрямованою вгору.

Початкову швидкість каменя позначимо через v, кут до горизонту, під яким Робін Гуд кидає камінь, позначимо через α. Знехтуємо опором повітря і залежністю прискорення вільного падіння g від висоти. Камінь вважатимемо матеріальною точкою, його траєкторію будемо визначати як залежність координат x, y від часу t. Робін Гуд кидає камінь з висоти свого зросту r, перебуваючи на відстані l₁ від стіни. На траєкторію каменя впливають початкова швидкість каменя v і кут α. Згідно із законами класичної механіки маємо:

        (1)      x = vt cos α;

        (2)      y = r + vt sin α – gt²/2.

Тут g = 9,81 м/c² — прискорення земного тяжіння. Рівняння (1–2) і є математичною моделлю задачі.

3. Розробка методу й алгоритму дослідження моделі — складання алгоритму дій для одержання потрібних результаті:

• з огляду на інформаційну модель добирають або розробляють метод одержання потрібних результатів;
• за вибраним методом складають детальний план розв’язання задачі, розробляються алгоритм одержання результатів.

Покажемо на прикладі розглядуваної задачі, що одну й ту саму модель можна досліджувати з принципово різних позицій.

Аналітичний підхід для розглядуваної задачі полягає у такому:

• виразити час польоту t через абсцису x:

(3)      t = x / v cos α;

• виразити ординату точки траекторії через абсцису:

(4)      y = r + x tg α – gx² / 2v² cos²α;

• визначити моменти часу досягнення абсцисою x тих значень, коли потрібно пролетіти певний отвір:
  
    (5)      t₁ = a₁ / v cos α;

(6)      t₂ = (a₁ + a₂) / v cos α;

(7)      t₃ = (a₁ + a₂ + a₃) / v cos α,

щоб записати умови прольоту каменя з посланням у отвори:

(8)      h₁ < r + a₁ tg α – g (a₁)² / 2v² cos²α < h₁ + b₁;

(9)      h₁ < r + (a₁ + a₂) tg α – g (a₁ + a₂)² / 2v² cos²α < h₁ + b₁;

(10)    h₂ < r + (a₁ + a₂ + a₃) tg α – g (a₁ + a₂ + a₃)² / 2v² cos²α < h₂ + b₂;

• визначити абсцису

(11)      x* = tg α : 2(g / 2v² cos²α) = v² sin α cos α / g = v² sin 2α / 2g

й ординату вершини параболи-траекторії:

(12)      y* = r + v² tg²α cos²α / 2g = r + v² sin²α / 2g.

Зауважимо, що при a₁ < x* < a₁ + a₂ має справджуватися така нерівність:

(13)      y* < h₁ + b₁.

В основі виведення формули (12) лежать такі тотожності:

        (14)      aх² + bх + c = a (x² + 2х(b/2a) + (b/2a)²) + c – b²/4a = a (x + b/2a)² + c – b²/4a.

Як бачимо, вираз aх² + bх + c при від'ємному a набуває найбільшого значення

        (15)      (aх² + bх + c)_max = c – b²/4a

при

        (16)      x = – b/2a.

Альтернативою повністю аналітичного дослідження є відтворення процесів (наразі фізичних) з прототипом:

• обчислювати координати точок траекторії каменя (з певним кроком за часом);
• відобразити траєкторію каменя на креслені споруди;
• висновки про результат кидання каменя визначати наочно.

Примітка. Спокуса економити на розробці методу дослідження не така вже й приваблива і має насторожити. У подальшому вона зазвичай призводить до істотно більших витрат обчислювальних ресурсів. Саме це й маємо для розглядуваної моделі. Свого часу потужність радянських комп'ютерів була у 10–15 разів нижчою від потужності американських. Але глибше розроблені методи наближених обчислень допомагали розв'язати ті самі задачі, що й у США. Наприклад, розрахувати аеродинамічні властивості літака чи гідродинамічні властивості підводного човна.

4. Розробка комп’ютерної моделі — одержання комп’ютерної моделі, придатної для дослідження:

• вибір засобів реалізації моделі на комп’ютері;
• створення комп’ютерної моделі;
• перевірка правильності створеної комп’ютерної моделі.

Перевірку здійснюють для знаходження і вилучення помилок, допущених у при створенні моделі. Іноді може з’ясуватися, що помилку було припущено не на даному етапі, а раніше. Наприклад, невдало вибрано метод, зроблено надмірні спрощення при моделюванні тощо. У такому разі потрібно повернутися до відповідного етапу, внести потрібні корективи й повторити всі наступні кроки побудови й дослідження моделі. Для розглядуваної задачі комп’ютерну модель найзручніше будувати в середовищі опрацювання електронних таблиць, в інтегрованому середовищі програмування або у середовищі спеціалізованого математичного пакету.

5. Проведення комп’ютерного експерименту

Комп’ютерний експеримент — дослідження математичної моделі з допомогою комп'ютера, при якому за одними параметрами моделі обчислюють інші її параметри і на цій основі роблять висновки про властивості об’єкта, описані математичною моделлю.

Цей етап складається з таких дій:

• розробка плану дослідження;
• проведення комп’ютерного експерименту на базі створеної моделі;
• аналіз отриманих результатів.

Цей вид дослідження можна лише умовно віднести до експерименту, бо він відображає не власне природні явища чи процеси, а лише є чисельною реалізацією створеної математичної моделі. Результати проведеного експерименту характеризують властивості моделі, а не прототипу. При розбіжності результатів комп'ютерного експерименту і природничого експерименту з прототипом говорять про неадекватність (некоректність) математичної моделі.

У ході експерименту може виникнути потреба виправити план дослідження. Наприклад, поглибити його в деякому напрямку. Отримані результати можуть викликати сумніви, які вимагатимуть вибору іншого методу дослідження, уточнення моделі або навіть внесення змін у постановку задачі. І тоді весь процес починають знову…

Для розглядуваної задачі потрібно спланувати і провести серію спроб для різних відстаней від стіни й різних початкових швидкостей каменя. А саме: змінювати v, α і a₁ у певних проміжках з певним (сталим для кожного параметра) кроком при сталих значеннях інших параметрів. При цьому потрібно вести облік тих наборів значень змінних параметрів, які відповідають прийнятним траекторіям. Наприклад, для сталих a₁ подавати графік відношення v й α для прийнятних траекторій. Одержані результати дадуть нам підстави для висновку, чи має Робін Гуд шанс влучити у вікно, і якщо так, то як йому це зробити.

Після втомливих спостережень траекторій істотним полегшенням для дослідника стане перехід до використання співвідношень (3–13) з використанням саме інтегрованого середовища програмування. Але завжди потрібно бути готовим змінити плани дослідження.

Примітка. Далі для повноти викладу подано теорію квадратичної функції, яку згідно з чинною навчальною програмою, мають вивчати наприкінці 9 класу. Використання поданого матеріалу для ознайомлення на уроці чи при проведенні комп'ютерного експерименту в домашній роботі не є обов'язковим.

Використавши співвідношення:

        (17)      cos^–2α = tg²α + 1

і запровадивши позначення:

        (18)      u = tg α,

нерівності (8–10) можна перетворити на нерівності такого вигляду:

        (19)      au² + bu + c > 0

або

        (20)      au² + bu + c < 0,

у яких коефіцієнти a, b, c не залежать від α, u = tg α. Позначимо:

        (21)      D = b² – 4ac.

Маємо:

        (22)      au² + bu + c = a (u² + 2u(b/2a) + (b/2a)²) + c – b²/4a = a((x + b/2a)² – D/4a²).

При D < 0 знак виразу au² + bu + c не залежить від u і збігається зі знаком a:

        (23)      sign (au² + bu + c) = sign a.

При D = 0 маємо таке:

• при u = – b/2a      au² + bu + c = 0;
• при u ≠ – b/2a    справджується рівність (23).

При D > 0 маємо таке:

• визначені коренні квадратного тричлена u_± = (– b ± D^1/2)/2a
  — корені рівняння au² + bu + c = 0;
• існує розклад тричлена на множники:
  au² + bu + c = a (u – u_–)(u – u₊);
• знак квадратного тричлена au² + bu + c збігається зі знаком a при u < u_– або u₊ < u, тобто коли аргумент менший за менший корінь або більший за більший корінь квадратного тричлена;
• знак квадратного тричлена au² + bu + c протилежний до знаку a при u_– < u < u₊, тобто коли аргумент розташовано між коренями квадратного тричлена.

Таким чином, розв'язавши нерівності (8–10) відносно tg α, можна уникнути перебору значень α.

Закріплення вивченого матеріалу

Моделювання є потужним методом пізнання дійсності. Модель дає спрощене відтворення об’єкта, проте її можна досліджувати й у такий спосіб вивчати об’єкт-прототип. Моделі бувають різних видів — статичні й динамічні, предметні й інформаційні тощо. Моделі, відтворені на комп’ютері, називаються комп’ютерними. Такі моделі дають змогу досліджувати різні явища, не витрачаючи матеріальних ресурсів, без загрози для здоров’я людини, встановлювати причини минулих подій, прогнозувати майбутні. Комп’ютерне моделювання відбувається в декілька етапів, на кожному з них вирішуються певні завдання. Останнім етапом є проведення комп’ютерного експерименту, за результатами якого одержують нову інформація про об’єкт дослідження.